##############################################################
画像処理の座標系について
##############################################################

=========================================================
アフィン変換について
=========================================================

* 画像処理の最も基本的変換は、  :red:`アフィン変換（Affine Conversion）` である．

  + アフィン変換は、 :blue:`平行移動、拡大縮小、回転、剪断` の４要素からなる線形変換である．
  + デカルト座標系に対して、拡大縮小、回転、剪断の３変換は、線形変換 :math:`y=Ax` にて記述が可能．
  + 平行移動については、定数項の和で記載が可能．

* 座標系をそのまま用いた場合の画像変換の、各変形は以下である．
  
  + 平行移動 ： 定数項の加減算 ( :math:`X^{\prime} = X + t`  )
  + 拡大縮小 ： 対角行列倍 ( :math:`\begin{bmatrix} a_x & 0 \\ 0 & a_y \end{bmatrix}` )
  + 回転 ： 回転行列倍 ( :math:`\begin{bmatrix} cos \theta & -sin \theta \\ sin \theta & cos \theta \end{bmatrix}` )
  + 剪断 ： シア行列倍 ( :math:`\begin{bmatrix} 1 & s_x \\ s_y & 1 \end{bmatrix}`  )

    
=========================================================
同次座標系について
=========================================================

* N次元の座標系を1次元拡張したN+1次元の座標系に変換し、これに対して線形変換することで、N次元空間での平行移動が記述可能である．

  + この際に使用する N+1次元の座標空間を  :red:`同次座標系` と呼ぶ．
  + 同次座標系は、例えば、[x,y,z]に対して、１次元座標空間を追加した [x,y,z,w] などとして記載されるが、w の値としては何を用いてもよい．よって、w=1とした [x,y,z,1]を同次座標系として用いることが通例である．

=========================================================
平行移動について
=========================================================

* 平行移動は例えば、次のように記述できる．


  .. math::

     \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \\ 1 \end{bmatrix} =
     \begin{bmatrix}
     1 & 0 & 0 & t_1 \\ 0 & 1 & 0 & t_2 \\ 0 & 0 & 1 & t_3 \\ 0 & 0 & 0 & 1
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\  1 \end{bmatrix} 

     
=========================================================
剛体変換について
=========================================================

* 剛体変換は、回転、及び、平行移動からなる座標変換である．

  + 剛体変換は変換前後で体積が保存する．
  + 拡大縮小や剪断を含まないアフィン変換である．

* 剛体変換は、同次座標系を用いて、以下のように記述できる．

  .. math::

     \begin{bmatrix} x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ z^{\prime} \\ 1 \end{bmatrix} =
     \begin{bmatrix}
     r_{11} & r_{12} & r_{13} & t_1 \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} & t_2 \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} & t_3 \\ 0 & 0 & 0 & 1
     \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\  1 \end{bmatrix}
     =
     \begin{bmatrix} \bf{R} & \bf{t} \\ \bf{O}^T & 1 \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\  1 \end{bmatrix}
     
     
=========================================================
透視投影カメラモデルについて
=========================================================

* カメラを用いて、透視投影して３次元物体を２次元画像へ写像した際の変換を以下に記す．

  .. math::

     \begin{bmatrix}  x^{\prime} \\ y^{\prime} \\ 1          \end{bmatrix} =
     \begin{bmatrix}  f &  0 & 0 \\ 0 & f & 0 \\ 0 & 0 & 1   \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix} \bf{R} & \bf{t}   \end{bmatrix}
     \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\  1 \end{bmatrix}

=========================================================
同次座標系の利点
=========================================================

* 平行移動を線形変換として取り扱える（演算子を単一化することが可能）．
* 個別の変換（直感的でわかりやすい）を、合成変換としてまとめることができ、数値上・コード上わかりやすい．
* 合成変換の固有値分解などにより、結局の変換の "本質" が解析可能．
* 位置制御や画像処理の分野で標準的に使用されており、議論しやすい．

     
=========================================================
References
=========================================================

* CVMLエキスパートガイド - 同次座標系 ( https://cvml-expertguide.net/terms/cv/homogeneous-coordinates/ )
* CVMLエキスパートガイド - アフィン変換 ( https://cvml-expertguide.net/2021/06/28/affine-transformation/ )
* CVMLエキスパートガイド - カメラモデル ( https://cvml-expertguide.net/terms/cv/camera-geometry/camera-model/ )