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割線法 ( secant solver )
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割線法は， *Newton-Raphson* 法における微分評価を数値微分とした求解アルゴリズムである．


割線法のアルゴリズム
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方程式 :math:`f(x)=0` を解く割線法のアルゴリズムは *Newton-Raphson* 法とほぼ同様であり，微分評価の手法が異なる．

1. n 回目における座標 :math:`x_n, x_{n+1}` における関数値 :math:`f(x_n), f(x_{n+1})` を求める．
2. 次のステップでの座標 :math:`x_{n+2}` を次式から評価する 

.. math::
   x_{n+2} = x_{n+1} - \dfrac{ f( x_{n+1} ) }{ f^{\prime}( x_{n+1} ) }
   = x_{n+1} - \dfrac{ f( x_{n+1} ) }{ \dfrac{ f( x_{n+1} ) - f( x_n ) }{ x_{n+1} - x_n } }

3. 得られた数値解が許容誤差より低ければ ( :math:`f(x_{n+2}) < \epsilon` )，解探索を終了し，許容誤差より大きければステップ1に戻って，解をもう１ステップ進める．

   
割線法の特徴
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長所

* 解くべき関数のみを与えれば良い． ( *Newton-Raphson* 法では，解析的な関数とその解析微分が必要 )
* 一般的に，二分法よりも収束が速い ( :math:`O(\Delta^2)` の収束 )

短所

* 収束の安定性が保証されていない．

  

サンプルコード
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サンプルコードを以下に示す．

.. literalinclude:: code/main.f90
   :caption: main.f90
   :language: fortran
   :linenos:

      
.. literalinclude:: code/secantSlvMod.f90
   :caption: secantSlvMod.f90
   :language: fortran
   :linenos:


実行結果例
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実行結果例を以下に示す．

.. code-block:: shell

   kent@euler ~/fortran/secantSolver $ ./main 
   answer   :: x1 ==  -0.26188657207873522     
   residual :: x2 ==   -1.1102230246251565E-016
   y1 - theory    ==   -1.1102230246251565E-016
   theory L.H.S.  ==   0.70699999999999985     
   theory R.H.S.  ==   0.70699999999999996