############################################################## 直方体中の熱伝導 ############################################################## * シミュレーション名 :: heatConduction__in_a_bar_XYZ3D ========================================================= シミュレーション体系 ========================================================= * 基本方程式は熱輸送方程式 ( Heat Equation ) * シミュレーション対象は直方体 ( 10 [cm] x 10 [cm] x 100 [cm] ) * 一端を固定温度条件( 373.15 [K] = 100[℃] )、もう一端は自由境界条件（指定なし） * 材質は銅 ( 熱伝導率：398 [W/mK]、 比熱：379 [J/KgK]、8960 [kg/m3] ) ========================================================= メッシュ ========================================================= * メッシュ生成スクリプト ( mesh.py ) .. literalinclude:: ../../code/heat/heatConduction__in_a_bar_XYZ3D/mesh.py :caption: mesh.py ( heatConduction__in_a_bar_XYZ3D ) :language: python * geometry.conf .. literalinclude:: ../../code/heat/heatConduction__in_a_bar_XYZ3D/geometry.conf :caption: geometry.conf ( heatConduction__in_a_bar_XYZ3D ) * boundary.json .. literalinclude:: ../../code/heat/heatConduction__in_a_bar_XYZ3D/boundary.json :caption: boundary.json ( heatConduction__in_a_bar_XYZ3D ) * phys.conf .. literalinclude:: ../../code/heat/heatConduction__in_a_bar_XYZ3D/phys.conf :caption: phys.conf ( heatConduction__in_a_bar_XYZ3D ) * mesh.conf .. literalinclude:: ../../code/heat/heatConduction__in_a_bar_XYZ3D/mesh.conf :caption: mesh.conf ( heatConduction__in_a_bar_XYZ3D ) * 生成したメッシュを次に示す． .. image:: ../../image/heat/heatConduction__in_a_bar_XYZ3D/mesh.png :width: 800px :align: center ========================================================= Elmer シミュレーションファイル ========================================================= * シミュレーションファイル ( ns.sif )を以下に示す． .. literalinclude:: ../../code/heat/heatConduction__in_a_bar_XYZ3D/heat.sif :caption: heat.sif ( heatConduction__in_a_bar_XYZ3D ) ========================================================= シミュレーション結果 ========================================================= 結果は以下の通り． .. image:: ../../image/heat/heatConduction__in_a_bar_XYZ3D/temperature_anime.gif :width: 600px :align: center .. image:: ../../image/heat/heatConduction__in_a_bar_XYZ3D/temperature_zAxis.png :width: 600px :align: center --------------------------------------------------------- シミュレーションの定量的妥当性 --------------------------------------------------------- シミュレーションで計算した時間は 1000 [s] であり、この間に、自由境界側の一端は 47-48 [K] 程度の温度が上昇している．これが定量的に妥当かどうかを確かめておく． | 1. 物性値を以下に示す． .. csv-table:: **シミュレーションの物性値** :header: "物性値", "記号", "値", "単位" :widths: 20, 20, 20, 20 :width: 800px "長さ", "L", "0.5", "m" "断面積", "A", "0.01", "m2" "体積", "V", "0.005", "m3" "密度 (銅)", "ρ","8960", "kg/m3" "熱伝導率 (銅)", "λ", "398", "W/mK" "定圧比熱 (銅)", "cp", "379", "J/kgK" | 2. 熱伝達の基本式 熱伝導のFourier則は、 .. math:: d \dot{Q} = - \lambda \nabla T \Delta A である．これを用いて、熱伝達量は、 .. math:: d \dot{Q} = - 398 [W/mK] \times ( 80 [K] / 0.5 [m] ) \times ( 0.1 [m] )^2 = 6.4 \times 10^2 [W/m^2] である． 100 ℃ のお湯に一端をつけた上記寸法の銅ロッドは、オーブントースター半分程度の熱流束を伝えてくる様子． | 3. シミュレーション時間 1000 [s] 中に伝わる熱量 :math:`Q=640 [W] \times 1000 [s] = 6.4 \times 10^5` が、上昇させる銅の温度 :math:`\Delta T` を比熱の式より求めると、 .. math:: \Delta T &= \dfrac{ \Delta U }{ \rho V c_p } = \dfrac{ 6.4 \times 10^5 }{ 8960 \times 0.005 379 } \\ &= 37.69 [K] となる． 温度勾配を全領域で平均としているなど、かなり大雑把な見積もりであるためか、47-48 ℃ よりも小さい値となっている．実際は、温度勾配は局所的で急峻であり、37.69 [K] よりも高い温度になることが予想される． | --------------------------------------------------------- 概算値とシミュレーションの乖離について --------------------------------------------------------- * 例えば、t=0 では、z=0-0.1 [m] の領域において、dT/dz = 700 [K/m] で、計算で用いた 160 [K/m] よりも大きい． * 例えば、t=1000 では、 z=0-0.5 [m] の領域において、150 [K/m] 程度である．計算で用いた 160 [K/m] と同程度である． * 実際は、時々刻々と変化する温度分布のもとで、温度勾配から熱流束を評価する必要がある(FEM計算の中身)．