################################################################# RANS ( Reynolds Averaged Navier-Stokes ) ： k-εモデルについて ################################################################# ========================================================= RANS ( Reynolds Averaged Navier-Stokes ) について ========================================================= 流体の基本方程式はNavier-Stokes方程式(NS方程式)である． NS方程式は、対流項 :math:`v \cdot \nabla v` の影響で、短波長成分が生成される．例えば、ある空間的な流体波動、 :math:`v=a \sin kx` は、 .. math:: v \cdot \nabla v = a^2 \sin kx \cos kx = 2 a^2 \sin 2 kx となるため、もとの２倍の波数の波が、対流項によるカップリングで生じてしまう． これは、低波数モード（長波長）のエネルギーから、高波数（＝短波長）のモードへとエネルギーカスケードすることを意味する．実際は、高波数モードでは、非線形的に粘性項による熱化が進むため、低波数→高波数→散逸、というエネルギーカスケードが生じる（プラズマでは逆のカスケードが生じうる！）．数値シミュレーションとしては、適度な数値的拡散がないと、高波数モードが無限に生じてしまうため、乱流を含めたシミュレーションには、難しさがある． この高波数構造（＝渦）を、数値計算することを考える．近似度合いに応じて、いくつかの数値モデルがあり、以下に大別される． * DNS （直接数値計算：Direct Numerical Simulation） * LES （大局渦構造計算：Large Eddy Simulation） * RANS （レイノルズ平均ナビエ・ストークスモデル：Reynolds Averaged Navier-Stokes） RANSは、時間・空間的に、渦と流れを分けて、別の輸送方程式として取り扱う．RANSの特徴は、 * 時間的に定常な解を解くのが得意 * 剥離などの時空間的にカップルした構造を計算するのが苦手 RANSのモデルに、 * :math:`k-\epsilon` モデル * :math:`k-\omega` モデル などがある． ========================================================= k-εモデル ========================================================= --------------------------------------------------------- k-εモデルの特徴 --------------------------------------------------------- k-εモデルは、通常のNS方程式に加えて、渦の運動エネルギー k、及び、渦のエネルギー散逸 ε も流れによって輸送するとみなして、流体と渦の時間的変化を解くモデルである． .. csv-table:: **k および ε** :widths: 30, 70 :width: 800px "k", "輸送される渦エネルギー(Kinetic Energy)" "ε", "輸送される渦の散逸度(Energy Dissipation)" k-εモデルの特徴を以下にまとめる． .. csv-table:: **k-εモデルの特徴** :widths: 30, 70 :width: 800px "長所", "簡便かつ安定に解くことができ、工学的応用が容易なモデル" "", "特別な追加パラメータ・近似等を用意しなくてよい" "短所", "曲率を持った物体表面や、粘性低層のシミュレーションは近似である" "", "k, εの値はあくまでスケーリングから持ってきたアバウトな値であるため、精度を出しにくい" --------------------------------------------------------- 基本方程式 --------------------------------------------------------- ========================================================= k-εモデルのパラメータの決定 ========================================================= 使用する k, εの境界条件や初期条件の値の決定は、以下の式を用いて行える[1-3]． --------------------------------------------------------- 水力直径で測ったReynolds数 ( :math:`Re_{[d_h]}` ) --------------------------------------------------------- .. math:: Re_{[d_h]} = \dfrac{ \rho U d_h }{ \mu } = \dfrac{ U d_h }{ \nu } ここで、 :math:`\rho` は質量密度 [kg/m3]、 :math:`d_h` は水力直径 [m]、 :math:`U` は平均流速 [m/s]、 :math:`\mu` は粘度 [Pa s]、 :math:`\nu=\mu / \rho` は動粘度 [m2/s] である． --------------------------------------------------------- 渦強度 ( I ) --------------------------------------------------------- .. math:: I = 0.16 Re_{[d_h]}^{-\dfrac{1}{8}} --------------------------------------------------------- 渦の特徴長さ ( l ) --------------------------------------------------------- .. math:: l = 0.038 d_h --------------------------------------------------------- 渦の運動エネルギー ( k ) --------------------------------------------------------- .. math:: k = \dfrac{3}{2} ( U I )^2 --------------------------------------------------------- 渦のエネルギー散逸 ( ε ) --------------------------------------------------------- .. math:: \epsilon = C_{\mu}^{3/4} \dfrac{ k^{3/2 } }{ l } --------------------------------------------------------- シミュレーションへの入力パラメータ計算 --------------------------------------------------------- 例えば、以下プログラムを用いて、計算し、k、εの初期値、境界値を固定値で指定する．（固定値（決め打ち）で良いのかはしらない．） .. literalinclude:: ../../code/fluid/k_epsilon_model/calculate__k_epsilon_coef.py :caption: calculate__k_epsilon_coef.py :language: python .. literalinclude:: ../../code/fluid/k_epsilon_model/parameter.conf :caption: example of input : parameter.conf .. image:: ../../image/fluid/k_epsilon_model/output.png :width: 600px :align: center ========================================================= Reference ========================================================= * [1] CFD online k epsilon model ( https://www.cfd-online.com/Wiki/Turbulence_free-stream_boundary_conditions ) * [2] CFD online turbulence intensity ( https://www.cfd-online.com/Wiki/Turbulence_intensity ) * [3] CFD online turbulence length scale ( https://www.cfd-online.com/Wiki/Turbulent_length_scale )