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ラグランジアンによる運動の記述
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ラグランジアン( *Lagrangian* ) の導入
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まず， *Lagrangian*  L の一つの例として以下のようなものが挙げられる．

.. math::
   L = K - U

ここで，Kは運動エネルギー，Uはポテンシャルエネルギーであり，*Lagrangian* は，不定であることに注意されたし．( cf. スカラーポテンシャル・ベクトルポテンシャルの不定性 )



ラグランジュの運動方程式 ( *Euler-Lagrange Eqs.* )
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ラグランジュの運動方程式は，以下の最小作用の原理から，変分法を用いて導出される．
ラグランジアン L を一般化座標qに共役な運動量pを用いて， :math:`L(q,\dot{q},t)` として表して，

.. math::
   \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{ \partial L }{ \partial \dot{q} }\right) - \dfrac{ \partial L }{ \partial q } = 0


最小作用の原理 ( *Hamilton* の原理 )
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時刻 :math:`t_1` から :math:`t_2` の間の作用積分Sは， *Lagrangian* :math:`L(q,\dot{q},t)` を用いて，

.. math::
   S = \int_{t_1}^{t_2} L(q(t),\dot{q}(t),t) dt 

として表す．力学法則は，作用積分Sを最小化する．（こうなるように決まっている．何故かは知らない．これが原理！！）

.. math::
   \delta S = \delta \int L(q(t),\dot{q}(t),t) dt = 0



一般化座標に共役な運動量 ( :math:`(q_k,p_k)` ) と循環座標
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一般化座標 :math:`q_k` に対応する運動量を共役な運動量といい，次の式で表す．

.. math::
   p_k = \dfrac{ \partial L }{ \partial \dot{ q_k } }

   
ラグランジアン :math:`L` が一般化座標系 :math:`q_k` に無関係であるとき，一般化座標系 :math:`q_k` を  :red:`循環座標` という．つまり，

.. math::
   \dfrac{ \partial L }{ \partial q_k } = 0

の時， *Euler-Lagrange Eqs.* より，

.. math::
   \dfrac{d}{dt} \left(  \dfrac{ \partial L }{ \partial \dot{q_k} } \right) - \dfrac{ \partial L }{ \partial q_k } = \dfrac{d}{dt} \left(  \dfrac{ \partial L }{ \partial \dot{q_k} } \right) = \dfrac{d p_k }{dt} = 0

より，  :red:`循環座標に共役な運動量は保存する` ( cf. 軸対称系における角運動量保存則 )．


点変換
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座標変換する際に， **全ての座標点が一対一対応し，逆変換が存在する時，これを点変換という** ．つまり，

.. math::
   q_1 &= Q_1( q_1, q_2, \cdots, q_N )\\
   q_2 &= Q_2( q_1, q_2, \cdots, q_N )\\
   \vdots & \\
   q_N &= Q_N( q_1, q_2, \cdots, q_N )

で表される一対一の写像．例えば :blue:`正則行列による線形写像` では， **一対一対応し，逆変換が存在し，点変換に相当する．** つまり，点変換は，逆行列が存在するフルランク写像(正則行列)みたいな（線形変換とは限らないので）変換である．



ラグランジュ方程式の不変性
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ラグランジュ方程式 ( *Lagrange Eqs.* )，

.. math::
   \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{ \partial L }{ \partial \dot{q_k} }\right) - \dfrac{ \partial L }{ \partial q_k } = 0 \ \ ( k=1,2,...,N )

は， **点変換に関して形を変えない** ．
つまり，任意の一対一の座標変換(点変換)をいくら実行しても， :blue:`ラグランジュ方程式は常にこの式のままである．` **機械的に方程式を立てて，解く際には非常に好ましい性質** である．