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Single Particle Dynamics ( 単粒子力学 ) について
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*Newton-Lorentz Eqs.* の一般化
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電磁ポテンシャル :math:`(\phi,A)` 中の荷電粒子の挙動は *Newton-Lorentz* 方程式系で表すことができる．

.. math::
   
   \dfrac{ dP }{ dt } = q [ E + v \times B ]

ここで，電磁ポテンシャル :math:`(\phi,A)` はMaxwell Eq.によって規定されている．

.. math::
   E &= - \nabla \phi - \dfrac{ \partial A }{ \partial t } \\
   B &=   \nabla \times A


ここで， *Cartesian* 座標系等の特定の座標系ではなく，座標系によらない取り扱いをするために， *Hamilton* 方程式による記述を考える．

 
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*Lagrangean* の導出
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*Lagrangean* :math:`L(q,\dot{q},t)` は以下で与えられる．

.. math::
   L = - mc^2 \sqrt( 1 - v^2 / c^2 ) - q \phi + q v \cdot A
   

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*Hamiltonian* による単粒子力学の定式化
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ここでは， *Lagrangean* からの *Hamiltonian* の導出を考える．まず，

.. math::   
   p &= \dfrac{\partial L}{ \partial v } \\
   &= \dfrac{\partial }{ \partial v } ( - mc^2 \sqrt( 1 - |v|^2 / c^2 ) - q \phi + q v \cdot A ) \\
   &= \dfrac{\partial |v| }{ \partial v } \cdot \dfrac{\partial }{ \partial |v| } ( - mc^2 \sqrt( 1 - |v|^2 / c^2 ) ) + \dfrac{\partial }{ \partial v } ( q v \cdot A ) \\
   &= \dfrac{ v }{ |v| } \cdot \dfrac{\partial }{ \partial |v| } ( - mc^2 \sqrt( 1 - |v|^2 / c^2 ) ) + qA ) \\
   &= - mc^2 \dfrac{ v }{ |v| } \cdot \dfrac{ - 2|v|/c^2  \partial |v| / \partial v }{ 2 \sqrt( 1 - |v|^2 / c^2 ) } + qA ) \\
   &= - m \dfrac{ v }{ |v| } \cdot \dfrac{ - v }{ \sqrt( 1 - |v|^2 / c^2 ) } + qA ) \\
   &=     \dfrac{ m v }{ \sqrt( 1 - |v|^2 / c^2 ) } + qA ) \\
   &= P + qA

である．次に，

.. math::
   \dot{q} = xxx

これらより，

.. math::
   H = p \cdot \dot{q} - L \\
   &= \sqrt{ c^2 ( p - qA )^2 + m^2 c^4 } + q \phi
   
となる．


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*Hamiltonian* から *Newton-Lorentz Eqs.* への帰着
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      当然， *Hamiltonian* から *Hamilton* の正準方程式を計算すると， *Newton-Lorentz Eqs.* へ帰着するべきである．

      .. math::
         \dfrac{ \partial q }{ \partial t } = \dfrac{ \partial H }{ \partial p }

      を考えると， :math:`\gamma = \sqrt{ P^2 + m^2c^2 } / mc` を用いて， 

      .. math::
         \dfrac{ \partial H }{ \partial p } &= \dfrac{ \partial }{ \partial p } ( \sqrt{ c^2 ( p - qA )^2 + m^2 c^4 } + q \phi ) \\
         &= \dfrac{ 2 c^2 ( p - qA )  }{ 2 \sqrt{ c^2 ( p - qA )^2 + m^2 c^4 } } \\
         &= \dfrac{ c ( p - qA )  }{ \sqrt{ c^2 ( p - qA )^2 + m^2 c^4 } }